Question

在△ABC中，AC=BC，

（1）如图①，如果CD为底边AB上的中线，∠BCD=20°，CD=CE，则∠ADE=______°
（2）如图②，如果CD为底边AB上的中线，∠BCD=30°，CD=CE，则∠ADE=______°
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BCD与∠ADE之间有什么关系？请用式子表示：______
（4）如图③，CD不是AB上的中线，CD=CE，是否依然有上述关系？如果有，请写出来，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AC=BC，CD为底边AB上的中线，
∴∠ECD=∠BCD=20°，CD⊥AB，
∴∠A=90°-∠ECD=70°．
又∵CD=CE，
∴∠CED==80°，
∴∠ADE=∠CED-∠A=80°-70°=10°；

（2）∵AC=BC，CD为底边AB上的中线，
∴∠ECD=∠BCD=30°，CD⊥AB，
∴∠A=90°-∠ECD=60°．
又∵CD=CE，
∴∠CED==75°，
∴∠ADE=∠CED-∠A=75°-60°=15°；

（3）∵∠BCD=20°时，∠ADE=10°；
∠BCD=30°时，∠ADE=15°；
∴∠BCD=2∠ADE．

（4）依然有∠BCD=2∠ADE．理由如下：
∵AC=BC，∴∠A=∠B．
∵∠BCD+∠B=∠ADE+∠CDE，
∴∠BCD+∠A=∠ADE+∠CDE．
∵CD=CE，∴∠CED=∠CDE，
∴∠BCD+∠A=∠ADE+∠CED，
∵∠CED=∠A+∠ADE，
∴∠BCD+∠A=∠ADE+∠A+∠ADE，
∴∠BCD=2∠ADE．
分析：（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得出∠ECD=∠BCD=20°，根据等腰三角形等边对等角的性质及三角形内角和定理求出∠A=70°，∠CED=80°，再由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得出∠ADE=∠CED-∠A；
（2）同（1），先根据等腰三角形三线合一的性质得出∠ECD=∠BCD=30°，根据等腰三角形等边对等角的性质及三角形内角和定理求出∠A=60°，∠CED=75°，再由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得出∠ADE=∠CED-∠A；
（3）由（1）（2）中∠BCD与∠ADE的度数关系，容易发现∠BCD=2∠ADE；
（4）根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形的外角性质及等式的性质即可证明∠BCD=2∠ADE依然成立．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，综合性较强，难度中等．本题四问，循序渐进，体现了由特殊到一般的规律．