Question

2．如图，在半径为5$\sqrt{2}$的⊙O中，弦AB、CD互相垂直，若AB=14，CD=10，则BC的长为6$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作OE⊥AB于E，OF⊥DC于F，根据垂径定理得AE=BE=7，DF=CF=5，再利用勾股定理得OF=5，OE=1，可判断四边形OECF为矩形，所以PE=OF=5，PF=OE=1，然后再利用勾股定理计算BC即可．

解答 解：作OE⊥AB于E，OF⊥DC于F，如图，
则AE=BE=7，DF=CF=5，
∵OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{5}^{2}}$=5，OE=$\sqrt{O{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{7}^{2}}$=1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
∴PE=OF=5，PF=OE=1，
∴PC=PF+CF=1+5=6，PB=PE+BE=5+7=12，
在Rt△PBC中，BC=$\sqrt{P{B}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{5}$．
故答案为6$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．