Question

16．如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点．
（1）求⊙O的半径；
（2）求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，利用直角三角形的性质，易得△ABD是等边三角形，由垂径定理得AG⊥BD，BG=1/2BD=3，由锐角三角函数得AG，求得AO；
（2）连接AF，易得∠AFD=180°-∠B=120°，得EF⊥BC，求得DF，证得四边形AEDG是矩形，得DE=AG=3$\sqrt{3}$，易得EF．

解答 解：（1）∵D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，
又∵∠B=90°-∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，连接AO并延长交BD于G，则AG⊥BD，且BG=1/2BD=3，
∴AG=3$\sqrt{3}$，
∴AO=2$\sqrt{3}$AG=2$\sqrt{3}$；

（1）连接AF，
∵∠AFD=180°-∠B=120°，
∴∠DFC=60°，
∴EF⊥BC，
∴DF=$\frac{CD}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∵BE是切线，
∴AE⊥AG，
∴四边形AEDG是矩形，
∴DE=AG=3$\sqrt{3}$，
∴EF=DE-DF=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形是解答此题的关键．