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如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,点GE分别是边ABBC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F

(1)证明:∠BAE=∠FEC

(2)证明:△AGE≌△ECF

(3)求△AEF的面积.

答案:
解析:

  (1)证明:∵∠AEF=90°,

  ∴∠FEC+∠AEB=90°  1分

  在Rt△ABE中,∠AEB+∠BAE=90°,

  ∴∠BAE=∠FEC  3分

  (2)证明:∵GE分别是正方形ABCD的边ABBC的中点,

  ∴AG=GB=BE=EC,且∠AGE=180°-45°=135°.

  又∵CF是∠DCH的平分线,

  ∠ECF=90°+45°=135°  4分

  在△AGE和△ECF中,

  

  ∴△AGE≌△ECF  6分

  (3)解:由△AGE≌△ECF,得AE=EF

  又∵∠AEF=90°,

  ∴△AEF是等腰直角三角形  7分

  由AB=aBEa,知AEa

  ∴SAEFa2  9分


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