Question

11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（-4，0），B（0，3），动点P从点O出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点Q从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，过点P作PC⊥AB于点C，连接PQ，CQ，以PQ，CQ为邻边构造平行四边形PQCD，设点P运动的时间为t秒．

（1）当点Q在线段OB上时，用含t的代数式表示PC，AC的长；
（2）在运动过程中．
①当点D落在x轴上时，求出满足条件的t的值；
②若点D落在△ABO内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围；
（3）作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′，在运动过程中，是否存在某时刻使过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数sin∠OAB=$\frac{PC}{AP}$=$\frac{OB}{AB}$，cos∠OAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{AC}{AP}$，列出关系式即可解决问题．
（2）①当D在x轴上时，如图2中，由QC∥OA，得 $\frac{BQ}{OB}$=$\frac{BC}{AB}$，由此即可解决问题．
②当点D在AB上时，如图3中，由PQ∥AB，得$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，求出时间t，求出①②两种情形时的△POQ的面积即可解决问题．
（3）如图4中，当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，首先证明QB=QC，作QN∠BC于N，根据cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{BN}{BQ}$，列出方程即可解决问题，当CQ′是⊙M切线时，方法类似．

解答 解：（1）如图1中，

∵OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
在Rt△ACP中，PA=4-t，
∵sin∠OAB=$\frac{PC}{AP}$=$\frac{OB}{AB}$，
∴PC=$\frac{3}{5}$（4-t），
∵cos∠OAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{AC}{AP}$，
∴AC=$\frac{4}{5}$（4-t）．

（2）①当D在x轴上时，如图2中，

∵QC∥OA，
∴$\frac{BQ}{OB}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{2t}{3}$=$\frac{5-\frac{4}{5}（4-t）}{5}$，
解得t=$\frac{27}{38}$．
∴t=$\frac{27}{38}$s时，点D在x轴上，

②如图3中，

∵PQ∥AB，
∴$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，
∴$\frac{3-2t}{3}$=$\frac{t}{4}$，
∴t=$\frac{12}{11}$，
综上所述，当$\frac{27}{38}$＜t＜$\frac{12}{11}$时，点D落在△ABO内部（不包括边界）．

（3）如图3中，作QN⊥BC于N，

∵Q（0，3-2t），Q′（0，2t-3），
当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，
∴∠QCM=90°，∴∠QCP+∠PCM=90°，∵∠QCP+∠QCB=90°，
∴∠BCQ=∠PCM=∠CPM，
∵∠CPM+∠PAC=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠APC=∠OBA，∴∠QBC=∠QCB，
∴BQ=CQ，
∵cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{BN}{BQ}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}[5-\frac{4}{5}（4-t）]}{2t}$=$\frac{3}{5}$，
解得t=$\frac{9}{8}$，
当CQ′是⊙M切线时，同法可得$\frac{\frac{1}{2}[5-\frac{4}{5}（4-t）]}{6-2t}$=$\frac{3}{5}$，
解得t=$\frac{27}{16}$，
∴t=$\frac{9}{8}$s或$\frac{27}{16}$时，过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切．

点评 本题考查圆的综合题、锐角三角函数、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是求得点D在特殊位置时的时间，学会利用方程解决问题，属于中考压轴题．