分析 (1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式,然后解方程组求出b、c的值即可;
(2)连接BC,设直线BC与对称轴相交于点F,求出直线BC的解析式,根据抛物线解析式求出点D的坐标,再求出DF,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解;
(3)作出图形,根据点B、C、D的坐标求出BC⊥CD,再根据同角的余角相等求出∠BCP=∠CPK,从而得到的∠BCP=∠BDE,过点B作BG⊥BC交CP的延长线于G,过点G作GH⊥x轴于H,利用勾股定理列式求出BC,再求出△BCG和△EDB,然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BG,根据平角等于180°求出∠GBH=45°,然后求出BH、GH,写出点G的坐标,再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线CG的解析式,最后与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标.
解答 解:(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c得,
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$,
所以,抛物线解析式为y=x2-2x-3;
(2)连接BC,设直线BC与对称轴相交于点F,
令x=0,则y=-3,
所以,点C(0,-3),
易求直线BC的解析式为y=x-3,
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线对称轴为直线x=1,顶点D的坐标为(1,-4),
当x=1时,y=1-3=-2,
∴点F(1,-2),
所以,DF=-2-(-4)=-2+4=2,
∴△BCD的面积=$\frac{1}{2}$×DF×3=$\frac{1}{2}$×2×3=3;
(3)如图,∵B(3,0),C(0,-3),D(1,-4),
∴BC、CD与y轴的夹角都是45°,
∴BC⊥CD,
∴∠BCP+∠PCK=90°,
∵PK⊥直线CD,
∴∠CPK+∠PCK=90°,
∴∠CPK=∠BCP,
∴∠CPK=∠BCP,
∵∠CPK=∠BDE,
∴∠BCP=∠BDE,
过点B作BG⊥BC交CP的延长线于G,过点G作GH⊥x轴于H,
由勾股定理列得,BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$,
易求△BCG∽△EDB,
∴$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BE}{DE}$,
即$\frac{BG}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3-1}{4}$,
解得BG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
∵∠OBC=45°,
∴∠GBH=180°-45°-90°=45°,
∴BH=GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$,
∴OH=OB+BH=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$,
∴点G的坐标为($\frac{9}{2}$,-$\frac{3}{2}$),
设直线CG的解析式为y=kx+b,
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}k+b=-\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$,
所以,直线CG的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-3,
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=\frac{1}{3}x-3}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{20}{9}}\end{array}\right.$,
所以,点P的坐标为($\frac{7}{3}$,-$\frac{22}{9}$).
点评 本题是二次函数综合题型,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式,三角形的面积,相似三角形的判定与性质,联立两函数解析式求交点坐标,难点在于(3)作辅助线构造出相似三角形并求出直线CP上的一个点的坐标.
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时间 | 8月5日 | 8月6日 | 8月7日 | 8月8日 | 8月9日 | 8月10日 | 8月11日 |
水位变化/米 | +0.15 | -0.2 | +0.13 | -0.1 | +0.14 | -0.25 | +0.16 |
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