Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC相交于点D，且CD=2，BC=4，

（1）求⊙O的半径；

（2）连接AD并延长，交BC于点E，取BE的中点F，连接DF，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）DF与⊙O相切；理由见解析；

【解析】

（1）设⊙O的半径为R，由切线的性质得出∠OBC=90°，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（2）连接BD，由等腰三角形的性质得出∠OBD=∠ODB，由圆周角定理得出∠ADB=90°，求出∠BDE=90°，由直角三角形的性质得出DF=BE=BF，得出∠DBF=∠BDF，证出∠BDF+∠ODB=90°，即可得出结论．

（1）设⊙O的半径为R，

∵BC是⊙O的切线，

∴∠OBC=90°，

∴OB2+BC2=OC2 ，

即R2+42=（R+2）2 ，

解得：R=3，

即⊙O的半径为3

（2）DF与⊙O相切；理由如下： 如图所示：连接BD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDE=90°，

∵F是BE的中点，

∴DF=BE=BF，

∴∠DBF=∠BDF，

∵∠DBF+∠OBD=90°，

∴∠BDF+∠ODB=90°，

∴DF⊥OD，

∴DF与⊙O相切．