Question

6．如图，已知一张直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF．
（1）如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，已知AE=2.5，求△AEF的面积．
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
①试证明：四边形AEMF是菱形．
②求CM的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明△AEF∽△ABC，可得$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²=（$\frac{2.5}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$）²=$\frac{1}{4}$，由此即可解决问题．
（2）①只要证明AE=EM=MF=AF即可．
②设AE=x，则EM=x，CE=4-x，由四边形AEMF为菱形，推出EM∥AB，推出△CEM∽△CAB，可得$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EM}{AB}$，即$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{5}$，求出x的值，再利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，由折叠可知，EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴∠AFE=∠ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²=（$\frac{2.5}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{3}{2}$．

（2）如图2中，①由折叠可知，AE=EM，AF=FM，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥CA，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF是菱形．

②设AE=x，则EM=x，CE=4-x，
∵四边形AEMF为菱形，
∴EM∥AB，
∴△CEM∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EM}{AB}$，即$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{5}$，解得x=$\frac{20}{9}$，
∴AE=EM=$\frac{20}{9}$，CE=$\frac{16}{9}$，
∴CM=$\sqrt{（\frac{20}{9}）^{2}-（\frac{16}{9}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时构建方程解决问题，属于中考常考题型．