Question

1．菱形ABCD中，AB=4cm，∠ABC=60°，直线MN由点B沿着BA方向以1cm/s的速度向点A运动，与BD交于点Q，运动时间为ts，点P由A向D运动．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）若△PMQ的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）是否存在时刻t，使得△PMQ的面积与菱形ABCD的面积比为3：8？若存在，求出t值；若不存在，说明理由；
（4）将△AMP沿MP翻折，如果与△PMQ重合，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）作出菱形BC边上的高，利用直角三角形的性质得出AF，最后用底乘以高求出菱形面积；
（2）用平行线分线段成比例，先表示出MQ，AE，用三角形的面积公式即可；
（3）由（1）（2）得出的结论建立方程，判断出此方程无解，即不存在；
（4）由折叠判断出∠PQM=120°，再判断出PQ=PD，即：AP=PD，即可求出AP．

解答 解：（1）如图，过点A作AF⊥BC，
∵AB=4cm，∠ABC=60°，
∴BF=2，AF=2$\sqrt{3}$，
∴S_菱形ABCD=BC×AF=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
（2）∵MN∥AD，
∴$\frac{MQ}{AD}=\frac{BM}{AB}=\frac{EF}{AF}$，
∵BM=t，
∴$\frac{MQ}{4}=\frac{t}{4}=\frac{EF}{2\sqrt{3}}$，
∴MQ=t，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴AE=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S_△PMQ=$\frac{1}{2}$×MQ×AE=$\frac{1}{2}$×t×（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\sqrt{3}$t，（0＜t＜4），
（3）不存在，
假设存在，
由（1）知，S_菱形ABCD=BC×AF=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∵△PMQ的面积与菱形ABCD的面积比为3：8，
∴S△PMQ=3$\sqrt{3}$，
由（2）知，S_△PMQ=$\frac{1}{2}$×MQ×AE=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\sqrt{3}$t，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\sqrt{3}$t=3$\sqrt{3}$，
∴t²-4t+12=0，
∵△=16-4×12=-32＜0，
∴此方程无解，
即：不存在时刻t，使得△PMQ的面积与菱形ABCD的面积比为3：8．
（3）∵△AMP沿MP翻折，如果与△PMQ重合
∴AP=PQ，∠PQM=∠PAM=120°，
∵∠BQM=∠ADB=30°，
∴∠PQD=180°-∠BQM-∠PQM=30°，
∴PQ=PD，
∴AP=PD=$\frac{1}{2}$AD=2．

点评 此题是四边形综合题，主要考查菱形的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定，解本题的关键求出AF．