Question

已知：关于x的两个方程x²+（m+1）x+m-5=0…①与mx²+（n-1）x+m-4=0…②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．
（1）求证方程②的两根符号相同；
（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：3，且n为整数，求m的最小整数值．

Answer 1

分析：（1）先由方程x²+（m+1）x+m-5=0有两个不相等的负实数根得出△＞0，再根据根与系数的关系得出关于m的不等式组，求出m的取值范围，由方程②可知，当

m-4

m

≥0时此方程有两个同号实数根，再由①判断出

m-4

m

的符号即可；
（2）先根据α、β分别为方程mx²+（n-1）x+m-4=0的两个根，且α：β=1：3可得出α+β=4α=

1-n

m

，α=

1-n

4m

，α•β=

3(1-n)2

16m2

=

m-4

m

，再由方程有两个实数根可得到△＞0，与上式联立可得到关于m、n的方程组，求出m的取值范围，再与（1）中m的取值范围联立即可求出m的最小整数解．

解答：解：（1）∵x²+（m+1）x+m-5=0，
∴△＞0，即△=（m+2）²-4（m-5）=m²+2m+1-4m+20＞0，

m2-2m+21＞0① -(m+1)＜0② m-5＞0③

，
由②得m＞-1由③得m＞5，
∴m＞5，
∴

m-4

m

＞0，
∴方程②有两个同号实数根；
（2）∵α、β分别为方程mx²+（n-1）x+m-4=0的两个根，且α：β=1：3，
∴α+β=4α=

1-n

m

，α=

1-n

4m

，
∴α•β=

3(1-n)2

16m2

=

m-4

m

，
∴

3(1-n)2=16m2-64m (n-1)2-4m2+16m≥0

，
（n-1）²=

16m2-64m

3

，4m²-16m≥0，
∴m≥4，
∵△=（n-1）²-4m（m-4）≥0，3α²=

m-4

m

．
∵

m＞5 m-4≥0 m＞0

，
∴m的最小整数值为6．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，有一定的难度，熟知根与系数的关系是解答此题的关键．