Question

如图，已知，正△A₁B₁C₁的外接圆⊙O内切于正△ABC，若△ABC的面积是4，则阴影部分的面积是

1. A.
   2
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   +π

Answer 1

B
分析：解法（1）连接AO延长交BC于D，连接OB、OC₁，过O作OE⊥A₁C₁于E，设正△ABC的边长是a，则BD=CD=a，根据等边三角形的性质求出OD、AD，根据三角形的面积公式和勾股定理求出BC、AD、OD，根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质求出DE、EC₁，进一步求出A₁C₁及边上的高，根据三角形的面积公式求出△A₁B₁C₁的面积，根据式子×（△ABC的面积-△A₁B₁C₁的面积），代入求出即可．
解法（2）连接MN，根据旋转得到阴影部分的面积等于△BMN的面积，求出△BMN的面积即可．
解答：解：解法（1）
连接AO延长交BC于D，连接OB、OC₁，过O作OE⊥A₁C₁于E，
∵正三角形ABC，
∴AD⊥BC，BD=DC，
设正△ABC的边长是a，则BD=CD=a，
根据勾股定理得：AD=a，
∵△ABC的面积是4，
∴×a×a=4，
∴a=4，
∴BD=2，
∵O是正△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OBC=×60°=30°，
∴OD=BO，
由勾股定理得：OD=，
∴C₁0=，
同法可求：OE=OC₁=，
C₁E=A₁E=1，
∴A₁C₁=2，
A₁C₁边上的高是3×=，
∴△A₁B₁C₁的面积是×2×=，
∴阴影部分的面积是×（△ABC的面积-△A₁B₁C₁的面积）=×（4-）=，
解法（2）
连接MN，
由（1）可知：BN=BD=2，
同法可求BN上的高MH=，
∴根据旋转得出：阴影部分的面积=△BMN的面积=BN×MH=×2×=．
故选B．
点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的面积，三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，含30度得直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．