Question

2．已知AB∥CD，点E为AB，CD内一点，F，G分别是AB，CD上的点，点M，N分别是射线EF，PN上的点．
（1）当点M，N分别与点E重合时，不难发现∠FMG+∠GNF=2∠FEG，如图1，当∠EFN=∠EFA，∠EGM=∠EGC时，试探究∠PMG，∠QNF与∠FEG之间的关系；
（2）如图2，当∠EFN=2∠EFA，∠EGM=2∠EGC时，试探究∠PMG，∠QNF与∠FEG之间的关系；
（3）当∠EFN=n∠EFA，∠EGM=n∠EGC时，试探究∠PMG，则∠QNF与∠FEG之间的关系是∠PMG+∠QNF=（n+1）∠FEG．

Answer 1

分析 （1）利用两平行线之间折线所形成的角的规律得到∠FEG=∠EFA+∠EGC，∠PMG=∠EFA+∠MGC，∠QNF=∠NFA+∠NGC，再利用∠EFN=∠EFA，∠EGM=∠EGC易得∠PMG=∠EFA+2∠EGC，∠QNF=2∠EFA+∠EGC，于是有∠PMG+∠QNF=3∠FEG；
（2）前面得结论一样，只是∠PMG=∠EFA+3∠EGC，∠QNF=3∠EFA+∠EGC，则∠PMG+∠QNF=4∠FEG；
（3）当∠EFN=n∠EFA，∠EGM=n∠EGC，与前面一样得到∠PMG=∠EFA+（n+1）∠EGC，∠QNF=（n+1）∠EFA+∠EGC，所以∠PMG+∠QNF=（n+1）∠FEG．

解答 解：（1）∠FEG=∠EFA+∠EGC，∠PMG=∠EFA+∠MGC，∠QNF=∠NFA+∠NGC，
∵∠EFN=∠EFA，∠EGM=∠EGC，
∴∠PMG=∠EFA+2∠EGC，∠QNF=2∠EFA+∠EGC，
∴∠PMG+∠QNF=3（∠EFA+∠EGC），
∴∠PMG+∠QNF=3∠FEG；
（2）当∠EFN=2∠EFA，∠EGM=2∠EGC，
∴∠PMG=∠EFA+3∠EGC，∠QNF=3∠EFA+∠EGC，
∴∠PMG+∠QNF=3（∠EFA+∠EGC），
∴∠PMG+∠QNF=4∠FEG；
（3）当∠EFN=n∠EFA，∠EGM=n∠EGC，
∴∠PMG=∠EFA+（n+1）∠EGC，∠QNF=（n+1）∠EFA+∠EGC，
∴∠PMG+∠QNF=（n+1）（∠EFA+∠EGC），
∴∠PMG+∠QNF=（n+1）∠FEG．
故答案为∠PMG+∠QNF=（n+1）∠FEG．

点评 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．