【题目】如图,AB、CD是两个过江电缆的铁塔,塔AB高40米,AB的中点为P,塔底B距江面的垂直高度为6米.跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形,为了保证过往船只的安全,电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米.已知:人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上;再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上.
(1)求两铁塔轴线间的距离(即直线AB、CD间的距离);
(2)若以点A为坐标原点,向东的水平方向为x轴,取单位长度为1米,BA的延长方向为y轴建立坐标系.求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式.
【答案】
(1)
解:如图,AB=40米,BP=20米,BE=50米,BF=50+150=200(米).
设CD的延长线交地平面于点H.
设CH=x,BH=y
由△EBP∽△EHC得 =
,即
=
①
由△FBA∽△FHC得 =
,即
=
②
由①②解得:x=60,y=100
答:两铁塔轴线间的距离为100米;
(2)
解:依题意建立坐标系如图,由(1)得CH=60米,C点比A点高20米,
这时A、C两点的坐标为:A(0,0),C(100,20),
设抛物线顶点为P(x0,y0),
因为要求最低点高于地面为30﹣6=24(米),点A高度为40米,所以y0=﹣16.
设过点A的抛物线解析式为y=ax2+bx(a>0),则该抛物线满足:
化简得:125b2+80b﹣16=0
解得:b1= ,b2=﹣
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,有 >0,而a>0
∴b<0,故b1= 舍去
把b2=﹣ 代入前式得:a=
∴y= x2﹣
x
答:所求抛物线的解析式为y= x2﹣
x.
【解析】(1)根据题意,连接CA并延长到F,连接CP并延长到E,CD的延长线交地平面于点H.于是构造了两对相似三角形:EBP∽△EHC,△FBA∽△FHC,利用相似三角形的性质,建立起AB、CD之间的关系式,解方程组即可;(2)因为点A为坐标原点,则可设过原点的二次函数解析式为y=ax2+bx(a>0),将C(100,20)代入上式可得关于a、b的关系式,再根据二次函数顶点坐标公式和最低点高于地面为30﹣6=24(米),点A高度为40米,得到关于a、b的关系式,于是可以求出二次函数解析式.
【考点精析】通过灵活运用关于坡度坡角问题,掌握坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比).用字母i表示,即i=h/l.把坡面与水平面的夹角记作A(叫做坡角),那么i=h/l=tanA即可以解答此题.
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【题目】在春运期间,宁波火车站加大了安检力度,原来在北广场执勤的有10人,在南广场执勤的有6人,现调50人去支援.设调往北广场x人.
(1)则南广场增援后有执勤多少人(用含x的代数式表示).
(2)若要使在北广场执勤人数是在南广场执勤人数的2倍,问应调往北广场、南广场两处各多少人?
(3)通过适当的调配支援人数,使在北广场执勤人数恰好是在南广场执勤人数的n倍(n是大于1的正整数,不包括1).求符合条件的n的值.
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【题目】如图,A,B两地相距450千米,两地之间有一个加油站O,且AO=270千米,一辆轿车从A地出发,以每小时90千米的速度开往B地,一辆客车从B地出发,以每小时60千米的速度开往A地,两车同时出发,设出发时间为t小时.
(1)经过几小时两车相遇?
(2)当出发2小时时,轿车和客车分别距离加油站O多远?
(3)经过几小时,两车相距50千米?
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【题目】如图,直线l1在平面直角坐标系中,直线l1与y轴交于点A,点B(-3,3)也在直线l1上,将点B先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到点C,点C恰好也在直线l1上.
(1)求点C的坐标和直线l1的解析式;
(2)已知直线l2:y=x+b经过点B,与y轴交于点E,求△ABE的面积.
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【题目】已知:如图,OM是∠AOC的角平分线,ON是∠BOC的角平分线.
(1)当∠AOB=90°,∠BOC=40°时,求∠MON的度数.
(2)若∠AOB的度数不变,∠BOC的度数为α时,求∠MON的度数.
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【题目】如图(1),在平面直角坐标系中,矩形ABCO,B点坐标为(4,3),抛物线y= x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C,D为BC的中点,直线AD与y轴交于E点,与抛物线y=
x2+bx+c交于第四象限的F点.
(1)求该抛物线解析式与F点坐标;
(2)如图(2),动点P从点C出发,沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动;同时,动点M从点A出发,沿线段AE以每秒 个单位长度的速度向终点E运动.过点P作PH⊥OA,垂足为H,连接MP,MH.设点P的运动时间为t秒
①问EP+PH+HF是否有最小值?如果有,求出t的值;如果没有,请说明理由.
②若△PMH是等腰三角形,请直接写出此时t的值.
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【题目】如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是( )
A. △AFD≌△DCE B. AF=AD C. AB=AF D. BE=AD﹣DF
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【题目】如图1,正方形ABCD的边长为4,以AB所在的直线为x轴,以AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系反比例函数
的图象与CD交于E点,与CB交于F点.
(1)求证:;
(2)若的面积为6,求反比例函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,将沿x轴的正方向平移1个单位后得到
,如图2,线段
与
相交于点M,线段
与BC相交于点N.求
与正方形ABCD的重叠部分面积.
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