Question

在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）当FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（2）设AD=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当△BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长．

Answer 1

分析：（1）首先设BC边上的高AM交DE天点P．由在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，即可求得BM与AM的值，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形高的比等于相似比，即可得方程：

a

6

=

4-a

4

，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据三角函数的定义求得正方形DEFG的边长为

6

5

x，然后分别从当FG在△ABC的内部时与当FG在△ABC的外部时去分析求解即可求得答案；
（3）分别从GB=GD，DB=DG，BD=BG去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）如图1，设BC边上的高AM交DE于点P．
∵AB=AC=5，BC=6，且AM⊥BC，
∴BM=

1

2

BC=3，…（1分）
∴AM=

52-32

=4，…（2分）
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，…（3分）
∴

DE

BC

=

AP

AM

，…（4分）
设正方形DEFG的边长为a，
则

a

6

=

4-a

4

，…（5分）
∴a=

12

5

，
∴当FG与BC重合时，正方形DEFG的边长为

12

5

．…（6分）

（2）在Rt△ADP中，DP=

3

5

AD=

3

5

x，
∴正方形DEFG的边长为

6

5

x．…（7分）
①如图2，当FG在△ABC的内部时，y=DE²=（

6

5

x）²=

36

25

x²，（0＜x＜2）；…（8分）

②如图3，当FG与BC重合或在△ABC的外部时，设DG与BC交于点N．
在Rt△DBN中，DN=

4

5

DB=

4

5

（5-x）=4-

4

5

x．
∴y=DE•DN=

6

5

x•（4-

4

5

x）=-

24

25

x²+

24

5

x，（2≤x＜5）．…（9分）

（3）如图4，当GB=GD时，过点G作GH⊥AB于G，
则DH=BH，
∵AD=x，DG=

6

5

x，
∴DH=

4

5

DG=

24

25

x，
∵AD+DB=5，
∴

24

25

x+

24

25

x+x=5，
解得：x=

125

73

，
则AD=

125

73

； …（10分）
如图5，当DB=DG时，
则AB=AD+DB=AD+DG，
即

6

5

x+x=5，
解得：x=

25

11

，
即AD=

25

11

；…（11分）
如图6，当BD=BG时，
BD=

1 2 DG

4 5

=

5

8

DG=

5

8

•

6

5

x=

3

4

x，
∵AD+BD=AB=5，
∴x+

3

4

x=5，
解得：x=

20

7

，
∴AD=

20

7

．（12分）
∴当△BDG是等腰三角形时，AD=

125

73

或

25

11

或

20

7

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角函数的定义．此题难度较大，解题的关键是根据题意画出图形，注意准确作出辅助线，掌握数形结合思想与方程思想的应用．