解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴
解得
,
∴直线AB的解析式是y=-
x+3.
(2)在Rt△AOB中,AB=
=5,
依题意,得BP=t,AP=5-t,AQ=2t,
过点P作PM⊥AO于M,
∵△APM∽△ABO,
∴
,
∴
,
∴PM=3-
t,
∴y=
AQ•PM=
•2t•(3-
t)=-
t
2+3t.
(3)不存在某一时刻t,使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分,
若PQ把△AOB周长平分,则AP+AQ=BP+BO+OQ,
∴(5-t)+2t=t+3+(4-2t),
解得t=1.
若PQ把△AOB面积平分,则S
△APQ=
S
△AOB,
∴-
t
2+3t=3,
∵t=1代入上面方程不成立,
∴不存在某一时刻t,使线段PQ把△AOB的周长和面积同时平分.
(4)存在某一时刻t,使四边形PQP'O为菱形,
过点P作PN⊥BO于N,
若四边形PQP′O是菱形,则有PQ=PO,
∵PM⊥AO于M,
∴QM=OM,
∵PN⊥BO于N,可得△PBN∽△ABO,
∴
,
∴
,
∴PN=
t,
∴QM=OM=
t,
∴
t+
t+2t=4,
∴t=
,
∴当t=
时,四边形PQP′O是菱形,
∴OQ=4-2t=
,
∴点Q的坐标是(
,0).
∵PM=3-
t=
,OM=
t=
,
在Rt△PMO中,PO=
=
=
,
∴菱形PQP′O的边长为
.
分析:(1)已知了A、B两点的坐标,可用待定系数法求出直线AB的解析式.
(2)三角形APQ中,底边AQ的长易知,关键是求P点纵坐标的值;过P作PM⊥OA于M,通过构建的相似三角形得出的成比例线段,可求出PM的长.进而可根据三角形的面积公式求出y,t的函数关系式.
(3)可用分析法求解.先假设存在这样的t值,由于此时PQ将三角形ABO的周长平分,因此BP+BO+OQ=AP+AQ,据此可求出t的值,然后将t的值,代入(2)的函数关系式中,看此时三角形APQ的面积是否等于三角形AOB的面积的一半即可.
(4)如果四边形OPQP′是菱形,那么需要满足的条件是OP=PQ,那么PM垂直平分OQ,此时QM=OQ,可借助OA的长来求t的值.过P作PN⊥OB于N,那么三角形BNP和三角形BOA相似,可求得PN的表达式,也就求出了QM,MO的表达式,可根据OA=OM+QM+AQ来求出此时t的值.进而可求出菱形的边长.
点评:本题考查了一次函数解析式的确定、图形面积的求法、相似三角形的应用、菱形的判定和性质等知识.综合性强,难度较大.