Question

已知：如图，在坐标平面内，A（0，0），B（12，0），C（12，6），D（0，6），点Q沿DA边从点D开始向点A以1单位/秒的速度移动．点P沿AB边从点A开始向B以2单位/秒的速度移动，假设P、Q同时出发，t表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）写出△PQA的面积S与t的函数关系式；
（2）四边形APCQ的面积与t有关吗？请说明理由；（3）当t为何值时，△PQC面积最小，并求此时△PQC的面积；
（4）△APQ能否成轴对称图形？若能，请求出相应的t值，并写出其对称轴的函数关系式；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据A，B，C，D四点的坐标可知：四边形ABCD是个矩形，可根据P，Q的速度用时间t表示出AQ，AP的长，进而用三角形的面积公式得出S，t的函数关系式．
（2）连接AC，四边形APCQ的面积可以分成△AQC和△APC两部分，S_△AQC=（6-t）•12=36-6t，S_△APC=•2t•6=6t，因此四边形APCQ的面积等于36与t的大小没有关系．
（3）△PQC的面积应该等于四边形APCQ的面积减去△QPA的面积，根据（1）（2）的结果即可得出关于△PQC面积和t的函数关系，根据函数的性质和t的取值范围即可得出△PQC的最小面积．
（4）要使△APQ为轴对称图形，只有一种情况即AP=AQ时，△APQ为等腰直角三角形，那么AP=AQ，即6-t=2t，因此t=3．此时等腰直角三角形的对称轴正好是第一象限的角平分线即y=x．
解答：解：（1）S=-t²+6t．

（2）连接AC，S_{四边形APGQ}=S_△AQC+S_△APC=（6-t）•12+•2t•6=36．
四边形APGQ的面积与t无关．

（3）由题意可知：S_△PQC=S_{四边形APGQ}-S=36-（-t²+6t）=t²-6t+36=（t-3）²+27；
因此：当t=3时，S_△PQC最小值=27．

（4）当且仅当AQ=AP，即6-t=2t．
t=2时，△AQP是等腰直角三角形，从而是轴对称图形，
此时，取PQ的中点M．其坐标为（2，2）．
∴对称轴的函数关系式为y=x．
点评：本题考查了矩形的性质、图形面积的求法、轴对称图形及二次函数的综合应用等知识点．