Question

17．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2$\sqrt{3}$米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：$\sqrt{3}$的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈$\frac{3}{5}$，cos37°≈$\frac{4}{5}$，tan37°≈$\frac{3}{4}$．计算结果保留根号）

Answer 1

分析 延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=2$\sqrt{3}$、DF=$\frac{1}{2}$CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4$\sqrt{3}$、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4$\sqrt{3}$•tan37°可得答案．

解答 解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，

∵tan∠DCF=i=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DCF=30°，
∵CD=4，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BF=BC+CF=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
过点E作EG⊥AB于点G，
则GE=BF=4$\sqrt{3}$，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，
又∵∠AED=37°，
∴AG=GEtan∠AEG=4$\sqrt{3}$•tan37°，
则AB=AG+BG=4$\sqrt{3}$•tan37°+3.5=3$\sqrt{3}$+3.5，
故旗杆AB的高度为（3$\sqrt{3}$+3.5）米．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．