Question

如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于D，CD交BF于点G，GE∥CA，求证：CE与FG互相垂直平分．

Answer 1

证明：过G作GK⊥BC于K，连接EF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠GBK=∠GBD，GK=GD，
∵∠GKB=∠GDB
∴△GBK≌△GBD（AAS），
∴DB=BK，∠GKB=∠BDC=90°，
∵∠EBK是公共角，
∴∠EBK=∠EBK，
∴△CGB≌△EGB（ASA），
∴CG=EG，即GF垂直平分CE（三合一）．
∵∠FCE=∠CEK=∠ECD，
∴△CFE≌△CGE（ASA），
∴FC=CG=GE，FC∥EG．
∴FCGE为平行四边形，
∵CG=GE，
∴四边形FCGE为菱形，
∴CE与GF互相垂直平分．
分析：过G作GK⊥BC于K，由角平分线的性质可得∠GBK=∠GBD，GK=GD，由全等三角形的判定定理可知△GBK≌△GBD，△CGB≌△EGB，由平行四边形的判定定理可知FCGE为平行四边形，根据CG=GE即平行四边形的邻边相等可知此四边形是菱形，由菱形的对角线互相垂直平分即可求解．
点评：本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形及菱形的判定与性质，涉及面较广，难度适中．