Question

已知直线y=-2x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y=x²-（b+10）x+c．
（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y=-2x+b上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y=-2x+b的解析式．

Answer 1

分析：（1）先表示出B、P的坐标，然后将B代入抛物线的解析式中，将P代入直线的解析式中，联立两式可求出b、c的值，即可确定抛物线的解析式；
（2）可根据直线AB的解析式表示出A、B的坐标，即可求出OA、OB的长，由于∠ABC=90°，在直角三角形ABC中，可用射影定理求出OC的长，然后联立抛物线的对称轴方程即可求出b的值．也就求出了直线AB的解析式．

解答：解：（1）直线y=-2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A坐标为（

b

2

，0），点B坐标（0，b），
由题意知，抛物线顶点P坐标为（

b+10

2

，

4c-(b+10)2

4

），
∵抛物线顶点P在直线y=-2x+b上，且过点B，
解得b₁=-10，c₁=-10，b₂=-6，c₂=-6，
∴抛物线解析式为y=x²-10或y=x²-4x-6；

（2）∵点A坐标（

b

2

，0），点B坐标（0，b），
∴OA=|

b

2

|，OB=|b|，
又∵OA⊥OB，AB⊥BC，
∴△OAB∽△OBC
∴

OB

OC

=

OA

OB

∴OB²=OA•OC，
即b²=OC•|

b

2

|，
∴OC=

2b2

|b|

∵抛物线y=x²-（b+10）x+c的对称轴为x=

b+10

2

且抛物线对称轴过点C，
∴|

b+10

2

|=

2b2

|b|

．
（i）当b≤-10时，-

b+10

2

=-2b，
∴b=

10

3

（舍去）
经检验，b=

10

3

不合题意，舍去．
（ii）当-10≤b＜0时，

b+10

2

=-2b，
∴b=-2，
（iii）当b＞0时，

b+10

2

=2b，
∴b=

10

3

，
此时抛物线对称轴直线为x=-

-( 10 3 +10)

2×1

=

20

3

＞0，
BC与x轴的交点在x轴负半轴，
故不符合题意，舍去．
∴直线的解析式为y=-2x-2．

点评：本题考查了一次函数、二次函数解析式的确定以及函数图象交点等知识，要注意（2）中，在b的取值范围不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．