Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在BC边上，⊙O与AB相切于点D，与AC相交于点E，已知CE•CA=CO•CB．
求证：（1）∠CEO=∠B；
（2）OE²=OC•OB．

Answer 1

分析：（1）欲证∠CEO=∠B，可证△CEO∽△CBA，由已知条件可以直接得出．
（2）欲证OE²=OC•OB，因为OE=OD，即证OD•OE=OB•OC，通过证明△CEO∽△DBO可以得出．

解答：解：（1）连接OD，（1分）
∵CE•CA=CO•CB，
∴CE：CB=CO：CA．（1分）
∵∠C=∠C，
∴△CEO∽△CBA．（1分）
∴∠CEO=∠B．（1分）

（2）∵⊙O与AB相切于点D，
∴∠ODB=90°．（1分）
∵∠C=90°，
∴∠C=∠ODB．（1分）
∵∠CEO=∠B，
∴△CEO∽△DBO．
∴

OC

OD

=

OE

OB

．（1分）
∴OE•OD=OC•OB．（1分）
∵OE=OD，
∴OE²=OC•OB．（1分）

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，要求学生能够在图形中准确找出对应关系．