Question

若非零整数n使得

25 2 + 625 4 -n

+

25 2 - 625 4 -n

的值也是整数，则n=

 

．

Answer 1

分析：设A=

25 2 + 625 4 -n

，B=

25 2 - 625 4 -n

，则 A²+B²=25，再由其他条件分析即可求出n的值．

解答：解：设A=

25 2 + 625 4 -n

，B=

25 2 - 625 4 -n

∴A²+B²=50，
  由题，A+B∈Z+，设A+B=m
∴（A+B）²-（A²+B²）=m²-25=2AB也是整数
∴2AB=2

n

     
设2

n

=t （∈Z+）
代入（A+B）²-（A²+B²）=2AB得
（A+B）²=2AB+（A²+B²）=2

n

+25=m²是完全平方数
 n＜

625

4

，2

n

＜2×

25

2

=25，
∴25＜m²＜25+25=50
故m²=49，n=144
故答案为144．

点评：本题考查了二次根式的化简求值，在运算时要注意：一定要先化简再代入求值；二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．