Question

8．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（x₁，y₁）是反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上的一点，B（x₂，y₂）是反比例函数y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）的图象上的一点，则△AOB的面积的最小值为2．

Answer 1

分析 如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，根据已知条件得到S_△BOD=2，S_△ACO=$\frac{1}{2}$，y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$y₂=$\frac{4}{{x}_{2}}$，于是得到S_△AOB=S_{四边形ABDC}-S_△BOD-S_△AOC=$\frac{1}{2}$（$\frac{4{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{4{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$≥$\frac{1}{2}$×$\frac{4{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，于是得到结论．

解答 解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∵A（x₁，y₁）是反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上的一点，B（x₂，y₂）是反比例函数y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）的图象上的一点，
∴S_△BOD=2，S_△ACO=$\frac{1}{2}$，y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$y₂=$\frac{4}{{x}_{2}}$，
∴S_△AOB=S_{四边形ABDC}-S_△BOD-S_△AOC
=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）（x₁+x₂）-$\frac{1}{2}$-2
=$\frac{1}{2}$（x₁y₁+x₂y₂+x₁y₂+x₂y₁）-$\frac{1}{2}$-2
=$\frac{1}{2}$+2+$\frac{1}{2}$（x₁y₂+x₂y₁）-$\frac{1}{2}$-2
=$\frac{1}{2}$（$\frac{4{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$≥$\frac{1}{2}$×$\frac{4{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即△AOB的面积的最小值为2，
故答案为：2．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．