Question

26、如图1，在正方形ABCD中，若点E是△DBC内的一点，且DE=DC，BE=CE．
（1）连接AE．说明△ABE≌△DCE的理由；
（2）求∠BDE与∠CDE度数的比值；
（3）拓展探索：若只将题中的条件“正方形ABCD”换成条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，2∠DBC=∠DCB”．如图2，研究∠BDE与∠CDE度数的比值是否与（2）中的结论相同，写出你的研究结果并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的判定定理SAS来证明△ABE≌△DCE；
（2）根据正方形的对角线平分对角的性质求得∠ADB的值，然后由已知条件推出点E是边BC中线上的一点，知△AED是等边三角形，最后求出∠BDE与∠CDE度数并求比值；
（3）首先根据等腰梯形及等腰三角形的性质性质，可以推出△ADE是等边三角形．如果∠DBC=a，则∠DCB=2a，∠BDE=60°-a，∠CDE=120°-2a，所以比值依然是1：2．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB；
又∵BE=CE，
∴∠EBC=ECB（等腰对等角），
∴∠ABE=∠DCE；
∴△ABE≌△DCE；

（2）∵BE=CE，
∴点E在边BC的中线上，
∴AE=DE；
又∵DE=DC，AD=DC，
∴AE=DE=AD，
∴∠ADE=60°；
∵∠ADB=45°，∠BDE=∠ADE-∠ADB，
∴∠BDE=15°；
∵∠CDE=∠CDB-∠BDE，∠CDB=45°，
∴∠CDE=30°；
∴∠BDE：∠CDE=1：2；

（3）相同．
证明：连接AE．
∵AD∥BC，
∠DBC=∠ADB（两直线平行，内错角相等），
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BCD；
又∵2∠DBC=∠DCB，
∴∠ABD=∠DBC；
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD；
∵DE=DC，AB=DC，又由（2）知，AE=ED，
∴AE=ED=AD，
∴三角形AED是等边三角形；
∴∠ADE=60°；
∵∠ADB=45°，∠BDE=∠ADE-∠ADB，
∴∠BDE=15°；
∵∠CDE=∠CDB-∠BDE，∠CDB=45°，
∴∠CDE=30°；
∴∠BDE：∠CDE=1：2．

点评：本题综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．在解答此题时，要灵活运用正方形的边长、正三角形的角的特点．