Question

（本小题10分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙
O₁，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图12所示的平面直角坐标系，已知A，
B两点的坐标分别为A(0，2)，B(-2，0).
（1）求C，D两点的坐标.
（2）求证：EF为⊙O₁的切线.
（3）探究：如图13，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）连结DE，∵CD是⊙O₁的直径，

∴DE⊥BC，
∴四边形ADEO为矩形.
∴OE=AD=2，DE=AO=2.
在等腰梯形ABCD中，DC=AB.
∴CE=BO=2，CO=4.
∴C(4，0)，D(2，2).
（2）连结O₁E，在⊙O₁中，O₁E=O₁C，
∠O₁EC=∠O₁CE，
在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB.
∴O₁E∥AB,
又∵EF⊥AB，
∴O₁E⊥EF.
∵E在AB上，
∴EF为⊙O₁的切线
（3）解法一：存在满足条件的点P.
如右图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM,

在矩形OMPN中，ON=PM，
设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，
tan∠ABO=.
∴∠ABO=60°，
∴∠PCN =∠ABO =60°.
在Rt△PCN中，
cos∠PCN =，
即,
∴x=.
∴PN=CN·tan∠PCN=(4-)·=.
∴满足条件的P点的坐标为(，).
解法二：存在满足条件的点P，
如右图，在Rt△AOB中，AB=.
过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM,
在矩形OMPN中，ON=PM，
设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，
∵∠PCN=∠ABO，∠PCN=∠AOB=90°.
∴△PNC∽△AOB，
∴，即.
解得x=.
又由△PNC∽△AOB，得
，
∴PN=.
∴满足条件的P点的坐标为(，).

解析