分析 (1)首先求出点P坐标,利用两点之间距离公式即可解决问题.
(2)设P点坐标为(x,$\frac{1}{8}$x2),分别求出P点到F点的距离和到直线L的距离,即可证明PF=PM.
(3)先设出点T坐标,确定出点N坐标,进而得出直线TN解析式,即可解决问题.
解答 解:(1)∵点P在抛物线y=$\frac{1}{8}$x2上,
x=6时,y=$\frac{9}{2}$,
∴点P坐标(6,$\frac{9}{2}$),
∵F(0,2),
∴PF=$\sqrt{{6}^{2}+(\frac{9}{2}-2)^{2}}$=$\frac{13}{2}$,
∵点M在直线y=-2上,
∴PM=$\frac{9}{2}$+2=$\frac{13}{2}$,
故答案为$\frac{13}{2}$,$\frac{13}{2}$.
(2)如图1中,作FH⊥PM于H,设P点坐标为(m,$\frac{1}{8}$m2),则PF=$\sqrt{{m}^{2}+(\frac{1}{8}{m}^{2}-2)^{2}}$=2+$\frac{1}{8}$m2,
∵PM=2+$\frac{1}{8}$m2,
∴PF=PM,
∵∠FPM=60°,
∴△PFM是等边三角形,
∵FP=FM,FH⊥PM,
∴PH=HM=4,
∴点P的纵坐标为6,
当y=6时,6=$\frac{1}{8}$x2,
∴x=±4$\sqrt{3}$,
∴点P坐标为(-4$\sqrt{3}$,6)或(4$\sqrt{3}$,6).
(3)证明:如图2中,设点T(m,$\frac{1}{8}$m2),
∴直线TO解析式为y=$\frac{m}{8}$x,
∵直线y=-2平行x轴,
令y=-2,则x=-$\frac{16}{m}$,
∴直线TO与l交于G(-$\frac{16}{m}$,-2),
∵NG⊥l,l∥x轴,
∴N横坐标为-$\frac{16}{m}$,
∵点N在抛物线上,
∴N(-$\frac{16}{m}$,$\frac{32}{{m}^{2}}$)
设直线TN解析式为y=kx+b,
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=\frac{1}{8}{m}^{2}}\\{-\frac{16}{m}•k+b=\frac{32}{{m}^{2}}}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{{m}^{2}-16}{8m}}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直线TN解析式为y=$\frac{{m}^{2}-16}{8m}$x+2,
∴直线TN一定经过点F(0,2).
点评 题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,函数图象的交点坐标,直角三角形的性质,判断点是否在直线上,解本题的关键是证明PF=PM,确定出直线TN的解析式是解本题的难点,属于中考压轴题.
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