Question

如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,圆的认识

专题：

分析：连接CP、BP′，根据同角的余角相等求出∠CAP=∠BAP′，然后利用“边角边”证明△APC和△AP′B全等，根据全等三角形对应边相等可得PC=P′B，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边求解即可．

解答：解：如图，连接CP、BP′，
∵∠BAC=90°，旋转角为90°，
∴∠CAP+∠CAP′=∠BAP′+∠CAP′=90°，
∴∠CAP=∠BAP′，
在△APC和△AP′B中，

AP=AP′ ∠CAP=∠BAP′ AB=AC

，
∴△APC≌△AP′B（SAS），
∴PC=P′B=1，
在等腰Rt△ABC中，∵AC=2，
∴BC=

22+22

=2

2

，
在△BCP′中，有2

2

-1＜CP′＜2

2

+1，
当三点共线时取到等号，此时不是三角形，但符合题意．
所以，CP′的取值范围是：2

2

-1≤CP′≤2

2

+1．
故答案为：2

2

-1≤CP′≤2

2

+1．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的认识，三角形的三边关系，熟记各性质并作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．