Question

9．已知二次函数y=kx²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$（k是常数）．
（1）若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，试求k的取值范围；
（2）若点（1，k）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y=kx²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件及x的取值范围；
（3）若抛物线y=kx²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$与x轴交于A（x_A，0）、B（x_B，0）两点，且x_A＜x_B，x_A²+x_B²=34，若与y轴不平行的直线y=ax+b经过点P（1，3），且与抛物线交于Q₁（x₁，y₁）、Q₂（x₂，y₂）两点，试探究$\frac{{Q}_{1}P•{Q}_{2}P}{{Q}_{1}{Q}_{2}}$是否为定值，并写出探究过程．

Answer 1

分析 （1）根据题意k≠0，△＞0，列出不等式组即可解决问题．
（2）设反比例函数解析式为y=$\frac{m}{x}$，因为经过点（1，k），所以m=k，再根据条件即可确定k的值以及x的范围．
（3）结论：$\frac{{Q}_{1}P•{Q}_{2}P}{{Q}_{1}{Q}_{2}}$=1．令y=0，则有kx²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$=0，所以x_A+x_B=-$\frac{1}{2k}$，x_A•x_B=$\frac{15}{4k}$，根据x_A²+x_B²=34，列出方程求出k的值，设过点P的直线为y=kx+3-k，
由由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3-k}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}}\end{array}\right.$消去y得x²+（4k-2）x-3-4k=0，得x₁+x₂=-（4k-2），x₁x₂=-3-4k，根据$\frac{{Q}_{1}P•{Q}_{2}P}{{Q}_{1}{Q}_{2}}$=$\frac{\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+（{y}_{1}-3）^{2}}•\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+（{y}_{2}-3）^{2}}}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}}$，代入化简即可解决问题．

解答 解：（1）∵二次函数y=kx²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$与x轴有两个不同的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{\frac{1}{4}-4k•\frac{15}{4}＞0}\end{array}\right.$，
解得k＜$\frac{1}{60}$且k≠0．

（2）设反比例函数解析式为y=$\frac{m}{x}$，
∵经过点（1，k），
∴m=k，
∵反比例函数和二次函数y=kx²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$都是y随x的增大而增大，
∴k＜0，
x＜-$\frac{\frac{1}{2}}{2k}$，即x＜-$\frac{1}{4k}$．

（3）结论：$\frac{{Q}_{1}P•{Q}_{2}P}{{Q}_{1}{Q}_{2}}$=1．
理由：令y=0，则有kx²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$=0，
∴x_A+x_B=-$\frac{1}{2k}$，x_A•x_B=$\frac{15}{4k}$，
∵x_A²+x_B²=34，
∴（x_A+x_B）²-2x_A•x_B=34，
∴（$\frac{1}{2k}$）²-$\frac{15}{2k}$-34=0，
解得k=-$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{34}$
由（1）可知k＜$\frac{1}{60}$，
∴k=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{15}{4}$，
设过点P的直线为y=kx+b，把P（1，3）代入得3=k+b，
∴b=3-k，
∴过点P的直线为y=kx+3-k，
∵过点P的直线为y=kx+3-k与物线交于Q₁（x₁，y₁）、Q₂（x₂，y₂）两点，
∴y₁=kx₁+3-k，y₂=kx₂+3-k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3-k}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}}\end{array}\right.$消去y得x²+（4k-2）x-3-4k=0，
∴x₁+x₂=-（4k-2），x₁x₂=-3-4k，
∴$\frac{{Q}_{1}P•{Q}_{2}P}{{Q}_{1}{Q}_{2}}$=$\frac{\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+（{y}_{1}-3）^{2}}•\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+（{y}_{2}-3）^{2}}}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}}$
=$\frac{（1+{k}^{2}）•|（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）|}{\sqrt{1+{k}^{2}}•|{x}_{1}-{x}_{2}|}$
=$\frac{（1+{k}^{2}）•|{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}}$
=$\frac{（1+{k}^{2}）•|-3-4k+4k-2+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{16（1+{k}^{2}）}}$
=1．

点评 本题考查二次函数综合题、抛物线与x轴的交点、两点间距离公式、一元二次方程的根与系数关系等知识，解题的关键是熟练应用根与系数关系，学会利用参数解决问题，本题化简有一定的难度，属于中考压轴题．