Question

如图，已知AB为⊙O的直径，⊙O₁以OA为直径，⊙O的弦AD交⊙O₁于点C，BC⊥OD于点E．
（1）求证：BC为⊙O₁的切线；
（2）若OE=2，求⊙O的半径及AC的长．

Answer 1

分析：（1）连接0₁C，OC，可证得O₁C是△AOD的中位线，利用平行可求得0₁C⊥BC那么BC为⊙O₁的切线；
（2）可利用已知得出△ACO∽△CEO，进而得出

EO

CO

=

CO

AO

，进而求得CO，利用勾股定理求得AC的长．

解答：（1）证明：连接0₁C，OC；
∵AO是⊙O₁的直径，
∴∠ACO=90°，
即OC⊥AD，
∴AC=CD，
∵AO₁=OO₁，
∴O₁C是△AOD的中位线，
∴O₁C∥OD．
∵BC⊥OD，
∴O₁C⊥BC，
∴BC为⊙O₁的切线．

（2）解：∵OE∥0₁C，
∴

OE

CO1

=

OB

BO1

=

2

3

，
∴0₁C=3，
∴AO=20₁C=6．
∵BC为⊙O₁的切线，
∴∠BCO=∠A，
∵∠OEC=∠ACO，
∴△ACO∽△CEO，
∴

EO

CO

=

CO

AO

，
∴

2

CO

=

CO

6

，
解得：CO=2

3

，
∴AC=

OA2-OC2

=2

6

．

点评：证明是圆的切线应连接圆心和切点，利用平行证得证半径和直线所夹的角是90；注意使用勾股定理来推理所求线段的长度．