Question

数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
例如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数．
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为

n(n+1)

2

，即1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

．
（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
（2）试设计另外一种图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

Answer 1

分析：根据例题所示选择合适的图形来解决问题，对于题目中所给的奇数相加的公式，我们不难发现它的递增也是有规律的，所以我们仍可以参照例子作出相应的图形利用平行四边形法求解；另外我们可以发现公式的增值是2，我们可以看做是在原点的基础上伸出两个端点依次加2，然后这n个图形相组合，可以得到多个答案，选择你认为最为简单的图形进行解答．

解答：解：（1）

因为组成此平行四边形的小圆圈共有n行，每行有[（2n-1）+1]个，即2n个，
所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n²个．
∴1+3+5+7+…+（2n-1）=

n[(2n-1)+1]

2

=n²．

（2）

因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n²个．
∴1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n²．

点评：把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．