Question

已知：如图，等腰△ABC中AB=AC，高AD、BE交于点H，求证：4DH•DA=BC²．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：证明△ABD∽△BHD，则对应边的比相等，然后根据三线合一定理即可证得．

解答：证明：∵AB=AC，AD是高，
∴BD=BC=

1

2

BC，∠BAD=∠CAD，
又∵直角△AHE和直角△BDH中，∠ADB=∠AEB=90°，∠BHD=∠AHE，
∴∠BDH=∠DAC，
∴∠BDH=∠BAD，
又∵∠BDH=∠BDH，
∴△ABD∽△BHD，
∴

BD

DH

=

AD

BD

，
∴BD²=DH•DA，
又∵BD=

1

2

BC，
∴4DH•DA=BC²．

点评：本题考查了等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，证明△ABD∽△BHD是关键．