Question

【题目】如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC于点D，tan∠ACD＝2，以D为圆心，DC为半径作⊙D，交AD于点G，F是AB的中点，连接GF．

（1）求证：GF是⊙D的切线；

（2）连接CG并延长交AB于点H，若AH＝2，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2．

【解析】

（1）先证明G为AD的中点，可得GF为△ABD的中位线，则可证明∠AGF=90°；

（2）只要证明：△ADB，△CGD，△AGH都是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质即可解决问题；

（1）证明：∵tan∠ACD＝，AD⊥BC，

∴AD＝2CD＝2GD，

∴G为AD的中点，

又∵F为AB的中点，

∴GF∥BD，

∵AD⊥BC，

∴∠AGF＝90°，

∴GF是⊙D的切线；

（2）解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∵∠B＝45°，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴∠DAB＝45°

∵GD＝CD，∠GDC＝90°，

∴△CGD是等腰直角三角形，

∴∠GCD＝45°

∴∠AHC＝90°，

∴△AGH是等腰直角三角形，

∵AH＝2，

∴HG＝2，AG＝2．

∴GD＝2，

∴CG＝4，

∴HC＝6，

∴AC＝＝2．