Question

在△ABC中，∠C=90°
（1）如图1，P是AC上的点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似．例如：过点P作PD∥BC交AB于D，则截得的△ADP与△ABC相似．请你在图中画出所有满足条件的直线．
（2）如图2，Q是BC上异于点B，C的动点，过点Q作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）

Answer 1

解：（1）如图所示：

（2）当0＜BQ≤时，满足条件的直线有3条；
当＜BQ＜6时，满足条件的直线有4条．
分析：（1）根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可以作DP∥BC，PE∥AB；又由有两个角对应相等的三角形相似，可以过点P作PG⊥AB交AC于点G，过点P作∠PFC=∠A即可；
（2）本题需要根据BQ的取值范围不同，所画的直线条数不同讨论即可．
点评：此题考查了三角形相似的判定方法：平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似．注意数形结合思想的应用．