Question

10．如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，若AE为∠BAC的角平分线，BD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：AE=2BD；
（2）若CM⊥AD于M，求证：AM-ME=2CM．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长AC交BD的延长线于H．首先证明△ACE≌△BCH，推出AE=BH，再证明DH=DB即可解决问题．
（2）如图2中，延长CM交AB于F，在AM上取一点H，使得MH=ME，首先证明CM=MF，再证明△ACH≌△CBF即可解决问题．

解答 证明：（1）如图1中，延长AC交BD的延长线于H．

∵∠ACE=∠BDE=90°，∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠EBD，
在△ACE和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCH=90°}\\{AC=BC}\\{∠CAE=∠CBH}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCH，
∴AE=BH，
∵∠DAH=∠DAB，∠DAH+∠H=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠H=∠ABD，
∴AH=AB，∵AD⊥BH，
∴BD=DH，
∴AE=2BD．

（2）如图2中，延长CM交AB于F，在AM上取一点H，使得MH=ME．

∵CM⊥AD，
∴∠AMC=∠AMF=90°，
∵∠MAC=∠MAF，∠MAC+∠ACM=90°，∠MAF+∠AFM=90°，
∴∠AFM=∠ACM，
∴AC=AF，∵AM⊥CF，
∴CM=MF，
∵CM⊥EH，MH=ME，
∴CH=AE，
∴∠AEH=∠CHE，
∵∠MCE+∠MEC=90°，∠CAE+∠AEC=90°，
∴∠MCE=∠CAE=∠FAM，
∵∠CME=∠AMF，
∴∠AFM=∠CEM=∠CHE，
∴∠AHC=∠CFB，
在△ACH和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAH=∠BCF}\\{∠AHC=∠CFB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△CBF，
∴AH=CF=2CM．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．