分析 (1)先由AE=EC、BE=ED可判定四边形为平行四边形,再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形;
(2)①连结OF,由切线可得OF为△ABD的高且OF=4,从而可得S△ABD,由OE为△ABD的中位线可得S△OBE=$\frac{1}{4}$S△ABD;
②作DH⊥AB于点H,结合①可知四边形OHDF为矩形,即DH=OF=4,根据sin∠DAB=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{1}{2}$知∠EOB=∠DAH=30°,即∠AOE=150°,根据弧长公式可得答案
解答 解:(1)∵AE=EC,BE=ED,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB为直径,且过点E,
∴∠AEB=90°,即AC⊥BD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)①连结OF.
∵CD的延长线与半圆相切于点F,
∴OF⊥CF.
∵FC∥AB,
∴OF即为△ABD中AB边上的高.
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$AB×OF=$\frac{1}{2}$×8×4=16,
∵点O是AB中点,点E是BD的中点,
∴S△OBE=$\frac{1}{4}$S△ABD=4.
②过点D作DH⊥AB于点H.
∵AB∥CD,OF⊥CF,
∴FO⊥AB,
∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°.
∴四边形OHDF为矩形,即DH=OF=4.
∵在Rt△DAH中,sin∠DAB=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{1}{2}$,
∴∠DAH=30°.
∵点O,E分别为AB,BD中点,
∴OE∥AD,
∴∠EOB=∠DAH=30°,
∴$\widehat{BE}$的长度=$\frac{30•π×4}{180}$=$\frac{2}{3}$π.
故答案为:16,$\frac{2}{3}$π.
点评 本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质,熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.
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A. | 点A | B. | 点B | C. | 点C | D. | 点D |
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A. | 1.391×1010 | B. | 13.91×108 | C. | 1.391×109 | D. | 13.91×109 |
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