Question

如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：
①四边形BDEF是菱形；②四边形DFOE的面积=三角形AOF的面积
其中正确的结论（　　）

A．①是真命题②是假命题

B．①是假命题②是真命题

C．①是真命题②是真命题

D．①是假命题②是假命题

Answer 1

分析：首先根据折叠的性质得到BF=EF，BD=ED，再结合等腰直角三角形的性质、三角形的内角和及外角的性质得出∠BFD=∠BDF，由等边对等角得出BD=BF，然后根据四边相等的四边形是菱形可判断①正确；连接CF，先根据等底同高的两个三角形面积相等得出S_△AOF=S_△COF，再由同底等高的两个三角形面积相等得出S_△EFD=S_△EFC，从而得到S_{四边形DFOE}=S_△COF，进而可判断②正确．

解答：解：①∵把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，
∴BF=EF，BD=ED．
∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD为△ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
∴∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，
∴BF=EF=BD=ED，
∴四边形BDEF是菱形，故①正确；
②连接CF．
∵△AOF和△COF等底同高，
∴S_△AOF=S_△COF，
∵四边形BDEF是菱形，
∴EF∥CD，
∴S_△EFD=S_△EFC，
∴S_{四边形DFOE}=S_△COF，
∴S_{四边形DFOE}=S_△AOF，故②正确．
故选C．

点评：本题主要考查了翻折变换，菱形的判定，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，面积的计算等知识，综合性较强，难度中等．用到的知识点为：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；四边相等的四边形是菱形；三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；两条平行线间的距离相等．