Question

6．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）如果AB=12，BC=15，求tan∠FBE的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质推知∠A=∠D=∠C=90°．然后根据折叠的性质，等角的余角相等推知∠ABF=∠DFE，易证得△ABE∽△DFE；
（2）由勾股定理求得AF=9，得出DF=6，由△ABF∽△DFE，求得EF=7.5，由三角函数定义即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴∠A=∠D=∠C=90°，AD=BC，
∵△BCE沿BE 折叠为△BFE．
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°，
又∠AFB十∠ABF=90°，
∴∠ASF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE．
（2）解：由折叠的性质得：BF=BC=15，
在Rt△ABF中，由勾股定理求得AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，
∴DF=AD-AF=6，
∵△ABF∽△DFE，
∴$\frac{BF}{EF}=\frac{AB}{DF}$，
即$\frac{15}{EF}=\frac{12}{6}$，
解得：EF=7.5，
∴tan∠FBE=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．