【题目】已知四边形ABCD中,EF分别是AB、AD边上的点,DE与CF交于点G.
(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,且DE⊥CF,求证:DE=CF;
(2)如图2,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证:;
(3)如图3,若四边形ABCD是平行四边形,当∠B=∠EGF时,第(2)问的结论是否成立?若成立给予证明;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)当∠B=∠EGF时,成立,证明见解析.
【解析】
(1)由四边形ABCD为正方形,利用正方形的性质得到一对角为直角,相等,且AD=DC,利用同角的余角相等得到一对角相等,利用AAS得到三角形ADE与三角形DCF全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;
(2)由四边形ABCD为矩形,得到一对直角相等,利用同角的余角相等得到一对角相等,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形DCF相似,利用相似三角形对应边成比例即可得证;
(3)当∠B=∠EGF时,成立,理由为:如图3,在AD的延长线上取点M,使CM=CF,利用平行线的性质,以及同角的补角相等得到三角形ADE与三角形DCM相似,利用相似三角形对应边成比例即可得证.
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠ADC=90°,AD=DC,
∴∠ADE+∠AED=90°,
∵DE⊥CF,
∴∠ADE+∠CFD=90°,
∴∠AED=∠CFD,
∴△ADE≌△DCF,
∴DE=CF
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°,
∵DE⊥CF,
∴∠ADE+∠CFD=90°,∠DCF+∠CFD=90°,
∴∠ADE=∠DCF,
∴△ADE∽△DCF,
∴
(3)解:当∠B=∠EGF时, 成立,
证明:如图3,在AD的延长线上取点M,使CM=CF,
则∠CMF=∠CFM,
∵AB∥CD,
∴∠A=∠CDM,
∵AD∥BC,
∴∠B+∠A=180°,
∵∠B=∠EGF,
∴∠EGF+∠A=180°,
∴∠AED=∠CFM=∠CMF,
∴△ADE∽△DCM,
∴ ,即 .
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【题目】如图1,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线y=x2+bx+c经过点B,与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2),设点D的横坐标为t(0<t<4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“落点”,请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.
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【题目】放假时小华父子俩一同出发去露营,步行途中小华发现睡袋忘拿了跑步回家取,之后立刻返程跑步追赶爸爸,期间爸爸继续步行去往露营地,会合时爸爸发现还需要探照灯,为节约时间爸爸乘车回家去拿,小华继续步行至露营地,爸爸拿到探照灯后乘车也到了终点(假定步行、跑步和汽车均为匀速,且二人取物品时间忽略不计),二人之间的距离s(米)与他们出发时间t(分钟)之间的关系如图所示,则当爸爸到家时,小华与露营地相距_____米.
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【题目】市教育局在全市中小学推广某学校“品格教育”科研成果,其中“敬老孝亲”是“品格教育”亮点之一. 重阳节(农历九月初九)快到了,某校八年级(1)班班委发起为老人们献上真挚的节日祝福活动,决定全班同学利用课余时间去卖鲜花筹集慰问金.已知同学们从花店按每支1.5元买进鲜花,并按每支4.5元卖出.
(1)求同学们卖出鲜花的销售额(元)与销售量(支)之间的函数关系式;
(2)若从花店购买鲜花的同时,还总共用去40元购买包装材料,求所筹集的慰问金(元)与销售量(支)之间的函数关系式;若要筹集不少于500元的慰问金,则至少要卖出鲜花多少支?(慰问金 = 销售额 - 成本)
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【题目】探索规律:下列图案是山西晋商大院窗格的一部分,其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸,随着基本图案的增加所贴剪纸“○”的总个数也在发生变化.
(1)填写下表:
第个图案 | 1 | 2 | 3 | 4 | …… |
“○”的总个数 | …… |
(2)请你写出第个图案中“○”的总个数与之间的函数关系式.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正比例函数与一次函数的图象相交于点.过点作轴的垂线,分别交正比例函数的图象于点,交一次函数的图象于点,连接.
(1)求这两个函数的表达式;
(2)求的面积;
(3)在轴上是否存在一点,使为直角三角形?若存在,请直接写出满足条件的所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知在矩形中,,,是线段边上的任意一点(不含端点、),连接,过点作交于.
在线段上是否存在不同于的点,使得?若存在,求线段与之间的数量关系;若不存在,请说明理由;
当点在上运动时,对应的点也随之在上运动,求的取值范围.
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【题目】已知,如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)求证:2CD2=AD2+DB2.
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【题目】如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形;
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为2、、;
(3)如图3,A、B、C是小正方形的顶点,求∠ABC.
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