Question

【题目】已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE=CF；

（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：；

（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B=∠EGF时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当∠B=∠EGF时，成立，证明见解析.

【解析】

（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且AD=DC，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形DCF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）由四边形ABCD为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形DCF相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证；

（3）当∠B=∠EGF时，成立，理由为：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到三角形ADE与三角形DCM相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC，

∴∠ADE+∠AED=90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，

∴∠AED=∠CFD，

∴△ADE≌△DCF，

∴DE=CF

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，∠DCF+∠CFD=90°，

∴∠ADE=∠DCF，

∴△ADE∽△DCF，

∴

（3）解：当∠B=∠EGF时， 成立，

证明：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，

则∠CMF=∠CFM，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠CDM，

∵AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°，

∵∠B=∠EGF，

∴∠EGF+∠A=180°，

∴∠AED=∠CFM=∠CMF，

∴△ADE∽△DCM，

∴ ，即 .