Question

19．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（　　）
（1）AB+CD=AD；
（2）S_△BCE=S_△ABE+S_△DCE；
（3）AB•CD=$\frac{1}{4}B{C}^{2}$；
（4）∠ABE=∠DCE．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设AD和半圆⊙O相切的切点为F，连接OF，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可．

解答 解：设AD和半圆⊙O相切的切点为F，
∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵AB为直径，
∴AB，CD是圆的切线，
∵AD与以AB为直径的⊙O相切，
∴AB=AF，CD=DF，
∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正确；
如图1，连接OE，
∵AE=DE，BO=CO，
∴OE∥AB∥CD，OE=$\frac{1}{2}$（AB+CD），
∴OE⊥BC，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC•OE=$\frac{1}{2}BC$$•\frac{1}{2}$（AB+CD）=$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{2}$（AB+CD）•BC=${\frac{1}{2}S}_{梯形ABCD}$=S_△ABE+S_△DCE，
故②正确；
如图2，连接AO，OD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AB，CD，AD是⊙O的切线，
∴∠OAD+∠EDO=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠DOC，
∴△ABO∽△OCD，
∴$\frac{AB}{OC}=\frac{OB}{CD}$，
∴AB•CD=OB•OC=$\frac{1}{2}$BC$•\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{4}$BC²，故③正确，
如图1，∵OB=OC，AE=DE
∴AB∥OE∥CD，
∴OE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠BEO=∠CEO，
∵AB∥OE∥CD，
∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，
∴∠ABE=∠DCE，故④正确，
综上可知正确的个数有4个，
故选D．

点评 本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理、性质定理，做到灵活运用．