Question

【题目】在中，，点为射线上一个动点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接．

（1）如图①，若，则按边分类：是 三角形，并证明；

（2）若．

①如图②，当点在线段上移动时，判断的形状并证明；

②当点在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．

Answer 1

【答案】（1）等边；证明见解析；（2）①△EFC为等腰三角形，证明见解析；②△EFC为等腰三角形．

【解析】

（1）根据题意推出∠ACB=∠ABC=60°，然后通过求证△EAC≌△DAB，结合平行线的性质，即可推出△EFC为等边三角形；

（2）①根据（1）的推理方法，即可推出△EFC为等腰三角形；②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAC≌△DAB，推出等量关系，即可推出△EFC为等腰三角形．

解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠ACB=∠ABC=60°，∠EAC=∠DAB，

∴△DAB≌△EAC，

∴∠ECA=∠B=60°，

∵EF∥BC，

∴∠EFC=∠ACB=60°，

∵在△EFC中，∠EFC=∠ECF=60°=∠CEF，

∴△EFC为等边三角形，

故答案为：等边；

（2）①△CEF为等腰三角形，

证明：如图2，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，

∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，

∴△EAC≌△DAB，

∴∠ECA=∠B，

∴∠ACE=∠ACB，

∵EF∥BC，

∴∠EFC=∠ACB，

∴∠EFC=∠ACE，

∴CE=FE，

∴△EFC为等腰三角形；

②如图③，△EFC为等腰三角形．

当点D在BC延长线上时，以AD为一边在AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线EF，交直线AC的延长线于点F，连接DE．

证明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，

∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，

∴△EAC≌△DAB，

∴∠ECA=∠DBA，

∴∠ECF=∠ABC，

∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB，

∴∠AFE=∠ECF，

∴EC=EF，

∴△EFC为等腰三角形．