Question

【题目】折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念. 今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸.

实践操作

如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点落在矩形ABCD所在平面内，C和AD相交于点E，连接D.

解决问题

（1）在图1中，①D和AC的位置关系是_____；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是____；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）在图2中，若∠B=30o，AB=，当A⊥AD时，BC的长度为_____.

Answer 1

【答案】(1) BD′∥AC，菱形；（2）成立，理由见解析；（3）4或6或8或12.

【解析】

（1）①根据内错角相等两直线平行即可判断；
②根据菱形的判定方法即可解决问题；
（2）只要证明AE=EC，即可证明结论②成立；只要证明∠ADB′=∠DAC，即可推出B′D∥AC；
（3）先证得四边形ACB′D是等腰梯形，分四种情形分别讨论求解即可解决问题；

解：（1）①BD′∥AC．②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；
故答案为BD′∥AC，菱形；
（2）①选择②证明如下：

如图2，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
∴△AEC是等腰三角形；
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形．
②选择①证明如下，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∵B′C=BC，
∴B′C=AD，
∴B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC．
（3）∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，
∵△AB′D是直角三角形，
当∠B′AD=90°，AB＞BC时，如图3中，

设∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y-30°，
解得y=60°，
∴∠AB′D=y-30°=30°，

∵AB′=AB=4

∴BC=4，
当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图4，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′=90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，

∵∠B=30°，AB=4

当∠B′AD=90°，AB＜BC时，如图5，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，

∴∠AB′C=30°，
∴AE=4，BE′=2AE=8，
∴AE=EC=4，
∴CB′=12，
当∠AB′D=90°时，如图6，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是平行四边形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，

∴已知当BC的长为4或6或8或12时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：4或6或8或12；