Question

【题目】如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PD=6-x，3为PD的最大值；（3）m=105，n=150．

【解析】

（1）由条件易证△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．
（2）PD=AD-AP=6-x，∵点P在线段BC上且不与B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．
（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．

（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）

，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠BAC=∠DAE
即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE
∴∠BAD=∠CAE．
（2）∵AD=6，AP=x，
∴PD=6-x
当AD⊥BC时，AP=AB=3最小，即PD=6-3=3为PD的最大值．

（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，
∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°-α，
∵I为△APC的内心
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠PCA
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°-（∠PAC+∠PCA）
=180°-（90°-α+60°）
=α+105°
∵0＜α＜90°，
∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105，n=150．