Question

【问题】如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=

3

，PC=1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
【探究】解题思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′．
（1）△P′PB是

 

三角形，△PP′A是

 

三角形，∠BPC=

 

°；
（2）利用△BPC可以求出△ABC的边长为

 

．
【拓展应用】
如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且PA=

5

，BP=

2

，PC=1；
（3）求∠BPC度数的大小；
（4）求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析：【探究】将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为

7

，问题得到解决．
【拓展应用】求出∠BEP=

1

2

（180°-90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP=

3

，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′=

3

，∠BP′P=60°，
∵AP′=1，AP=2，
∴AP′²+PP′²=AP²，
∴∠AP′P=90°，则△PP′A是 直角三角形；
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°；

（2）过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴∠MP′B=30°，BM=

3

2

，
由勾股定理得：P′M=

3

2

，
∴AM=1+

3

2

=

5

2

，
由勾股定理得：AB=

AM2+BM2

=

7

，
故答案为：（1）等边；直角；150；

7

；

（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=

2

，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，
∴∠BEP=

1

2

（180°-90°）=45°，
由勾股定理得：EP=2，
∵AE=1，AP=

5

，EP=2，
∴AE²+PE²=AP²，
∴∠AEP=90°，
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；

（4）过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；
∴∠FEB=45°，
∴FE=BF=1，
∴AF=2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=

5

；
∴∠BPC=135°，正方形边长为

5

．
答：（3）∠BPC的度数是135°；

（4）正方形ABCD的边长是

5

．

点评：本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．