Question

4．如图．在△ABC中．AB=AC=5cm，BC=6cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1cm/s．同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动．速度为1cm/s，EF∥BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ．若设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？
（2）设四边形QDCP的面积为y（cm²），求出y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形QDCP}：S_△ABC=9：20？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接DF，由EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，推出$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AQ}{AD}$，推出$\frac{EF}{6}$=$\frac{4-t}{4}$，可得EF=$\frac{3}{2}$（4-t），由EF∥BD，可知EF=BD时，四边形EFDB是平行四边形，列出方程即可解决问题．
（2）如图2中，作PN⊥AD于N，由PN∥DC，推出$\frac{PN}{DC}$=$\frac{AP}{AC}$，推出$\frac{PN}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，推出PN=$\frac{3}{5}$（5-t），根据y=$\frac{1}{2}$•DC•AD-$\frac{1}{2}$•AQ•PN计算即可解决问题．
（3）存在．由题意（-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{27}{10}$t）：12=9：20，解方程即可．
（4）存在．如图3中，作QN⊥AC于N，FH⊥PQ于H，根据cos∠CAD=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AN}{AQ}$，构建方程即可解决问题．根据sin∠FPH=$\frac{FH}{PF}$=$\frac{3}{5}$，求出FH即可．

解答 解：（1）如图1中，连接DF．

∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AQ}{AD}$，
∴$\frac{EF}{6}$=$\frac{4-t}{4}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$（4-t），
∵EF∥BD，
∴EF=BD时，四边形EFDB是平行四边形，
∴$\frac{3}{2}$（4-t）=3，
∴t=2，
∴t=2s时，四边形EFDB是平行四边形；

（2）如图2中，作PN⊥AD于N，

∵PN∥DC，
∴$\frac{PN}{DC}$=$\frac{AP}{AC}$，
∴$\frac{PN}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PN=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴y=$\frac{1}{2}$•DC•AD-$\frac{1}{2}$•AQ•PN=6-$\frac{1}{2}$•（4-t）$•\frac{3}{5}$（5-t）=6-（$\frac{3}{10}$t²-$\frac{27}{10}$t+6）=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{27}{10}$t（0＜t＜4）；

（3）存在：理由：由题意（-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{27}{10}$t）：12=9：20，
解得t=3或6（舍弃）；
∴当t=3s时，S_{四边形QDCP}：S_△ABC=9：20；

（4）存在．理由如下：
如图3中，作QN⊥AC于N．作FH⊥PQ于H．

∵QA=QP，QN⊥AP，
∴AN=NP=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（5-t），
由题意cos∠CAD=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AN}{AQ}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（5-t）}{4-t}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{7}{3}$，
∴t=$\frac{7}{3}$s时，点Q在线段AP的垂直平分线上．
∵sin∠FPH=$\frac{FH}{PF}$=$\frac{3}{5}$，
∵PA=5-$\frac{7}{3}$=$\frac{8}{3}$，AF=AQ÷$\frac{4}{5}$=$\frac{25}{12}$，
∴PF=$\frac{7}{12}$，
∴FH=$\frac{7}{20}$．
∴点F到直线PQ的距离h=$\frac{7}{20}$．

点评 本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．