Question

如图，字母S由两条圆弧KL、MN和线段LM组成，这两条圆弧每一条都是一个半径为1的圆的圆周的

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，线段LM与两个圆相切．K和N分别是两个圆的切点，则线段LM的长为

 

．

Answer 1

分析：如图，连接O₁L，O₁K，O₂M，O₁O₂交LM于O，则∠LO₁K=（1-

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）×360°=135°，由切线的性质可知∠KO₁O=90°，可得∠LO₁O=45°，又由切线的性质可知∠O₁LO=90°，故△O₁LO为等腰直角三角形，LO=O₁L=1，同理可得OM=1，可求线段LM的长．

解答：解：如图，连接O₁L，O₁K，O₂M，O₁O₂交LM于O，
依题意，得∠LO₁K=（1-

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）×360°=135°，
∵⊙O₁，⊙O₂为等圆，K为切点，
∴∠KO₁O=90°，
∴∠LO₁O=∠LO₁K-∠KO₁O=135°-90°=45°，
∵LM与⊙O₁相切于点L，∴∠O₁LO=90°，
∴△O₁LO为等腰直角三角形，LO=O₁L=1，
同理可得OM=1，
∴LM=LO+OM=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了圆的切线性质，及特殊三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．