【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1,0)和点B(4,0),且与y轴交于点C,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点,连接CA,CD,PD,PB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时,求点P的坐标;
(3)当m>0,n>0时,过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F,过点F作FG⊥x轴于点G,连接EG,请直接写出随着点P的运动,线段EG的最小值.
【答案】
(1)
解:把A(﹣1,0),B(4,0)两点的坐标代入y=ax2+bx+2中,可得
解得
∴抛物线的解析式为:y=x2+x+2.
(2)
解:∵抛物线的解析式为y=x2+x+2,
∴点C的坐标是(0,2),
∵点A(﹣1,0)、点D(2,0),
∴AD=2﹣(﹣1)=3,
∴△CAD的面积=,
∴△PDB的面积=3,
∵点B(4,0)、点D(2,0),
∴BD=2,
∴|n|=3×2÷2=3,
∴n=3或﹣3,
①当n=3时,
m2+m+2=3,
解得m=1或m=2,
∴点P的坐标是(1,3)或(2,3).
②当n=﹣3时,
m2+m+2=﹣3,
解得m=5或m=﹣2,
∴点P的坐标是(5,﹣3)或(﹣2,﹣3).
综上,可得
点P的坐标是(1,3)、(2,3)、(5,﹣3)或(﹣2,﹣3).
(3)
解:如图1,
设BC所在的直线的解析式是:y=mx+n,
∵点C的坐标是(0,2),点B的坐标是(4,0),
∴
解得
∴BC所在的直线的解析式是:y=x+2,
∵点P的坐标是(m,n),
∴点F的坐标是(4﹣2n,n),
∴EG2=(4﹣2n)2+n2=5n2﹣16n+16=5(n﹣)2+,
∵n>0,
∴当n=时,线段EG的最小值是:,
即线段EG的最小值是.
【解析】(1)根据抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1,0)和点B(4,0),应用待定系数法,求出该抛物线的解析式即可.
(2)首先根据三角形的面积的求法,求出△CAD的面积,即可求出△PDB的面积,然后求出BD=2,即可求出|n|=3,据此判断出n=3或﹣3,再把它代入抛物线的解析式,求出x的值是多少,即可判断出点P的坐标.
(3)首先应用待定系数法,求出BC所在的直线的解析式是多少;然后根据点P的坐标是(m,n),求出点F的坐标,再根据二次函数最值的求法,求出EG2的最小值是多少,即可求出线段EG的最小值.
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【题目】如图,点D、E、F分别为△ABC各边中点,下列说法正确的是( )
A.DE=DF
B.EF=?AB
C.S△ABD=S△ACD
D.AD平分∠BAC
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【题目】如图,码头A在码头B的正东方向,两个码头之间的距离为32海里,今有一货船由码头A出发,沿北偏西60°方向航行到达小岛C处,此时测得码头B在南偏东45°方向,求码头A与小岛C的距离.(≈1.732,结果精确到0.01海里)
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【题目】如图所示,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,A、B两点的坐标分别为(﹣1,0)、(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与x轴的另一交点,点D为y轴上一点,且DC=DE,求出点D的坐标;
(3)在第二问的条件下,在直线DE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似,请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.
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【题目】如图,△ABC中,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE,AD,点F在BA的延长线上,且AF=AB,连接EF,判断四边形ADEF的形状,并加以证明.
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【题目】如图,小岛A在港口B的北偏东50°方向,小岛C在港口B的北偏西25°方向,一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B出发向小岛A航行,经过5小时到达小岛A,这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向,求小岛A距离小岛C有多少海里?(最后结果精确到1海里,参考数据:≈1.1414,≈1.732)
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【题目】已知,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,A点坐标为(﹣6,0),B点坐标为(4,0),点D为BC的中点,点E为线段AB上一动点,连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,将△BDE以DE为轴翻折,点B的对称点为点G,当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求G点的坐标;
(3)如图②,当点E在线段AB上运动时,抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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