Question

如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．
求证：（1）AD=AE；（2）AB•AE=AC•DB．

Answer 1

分析：（1）要证明AD=AE，只需证明∠ADE=∠AED；根据三角形的外角的性质和弦切角定理即可证明；
（2）要证明AB•AE=AC•DB，只需证明

AB

AC

=

DB

AE

，根据△APB∽△CPA，得

AB

AC

=

PB

PA

，根据△PBD∽△PEA，得

PB

PA

=

DB

AE

，联立两式，可得出所求的结论．

解答：证明：（1）∵∠ADE=∠APD+∠PAD，∠AED=∠CPE+∠C，
又∠APD=∠CPE，∠PAD=∠C．
∴∠ADE=∠AED．
∴AD=AE．

（2）∵∠APB=∠CPA，∠PAB=∠C，
∴△APB∽△CPA，得

AB

AC

=

PB

PA

．
∵∠APE=∠BPD，∠AED=∠ADE=∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得

PB

PA

=

DB

AE

．
∴

AB

AC

=

DB

AE

．
∴AB•AE=AC•DB．

点评：本题考查了弦切角定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练运用相似三角形的判定和性质是解答（2）题的关键．