Question

李倩同学在学习中善于总结解决问题的方法，并把总结出的结果灵活运用到做题中．例如，总结出“图形中有角平分线+平行线，通常会出现等腰三角形”后，老师出了这样一道题：

（1）如图1，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AE平分∠FAD，与CD交于点E，与BC的延长线交于点M，E是CD的中点，请问AF=FC+AD成立吗？
（2）若把矩形ABCD变成平行四边形ABCD（如图2），其它条件不变，你的结论还正确吗？说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,平行四边形的性质,矩形的性质

专题：计算题

分析：（1）AF=FC+AD成立；
（2）AF=FC+AD仍然成立，理由为：由四边形ABCD为平行四边形，得到AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到∠DAE=∠M，再由AE为角平分线得到一对角相等，利用等角对等边得到AF=MF，利用AAS得到三角形ADE与三角形MCE全等，利用全等三角形的对应边相等得到AD=CM，根据FM=FC+CM，AF=FM，等量代换即可得证．

解答：解：（1）AF=FC+AD成立；
（2）AF=FC+AD成立，
理由：在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠M，
∵AE平分∠FAD，
∴∠DAE=∠FAM，
∴∠M=∠FAM，
∴AF=FM，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△MCE中，

∠DAE=∠M ∠AED=∠MED DE=CE

，
∴△ADE≌△MCE（AAS），
∴AD=CM，
∵AF=FM=FC+CM，
∴AF=FC+AD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．