Question

16．如图，MN∥EF，A、C分别在MN、EF上，∠MAC与∠ECA的角平分线交于点B．
（1）求∠B的度数；
（2）过B任作一条直线分别交MN、EF于G、H两点，观察线段BG、BH，猜想它们之间的大小关系，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠MAC+∠ACE=180°，根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论；
（2）过B作BP⊥MN，反向延长PB交EF于Q，作BD⊥AC于D，根据平行线的性质得到PB⊥EF，根据角平分线的性质得到BP=BD=BQ，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵MN∥EF，
∴∠MAC+∠ACE=180°，
∵AB平分∠MAC，BC平分∠ACE，
∴∠BAC+∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠MAC+∠ACE）=90°，
∴∠B=90°；

（2）BG=BH，
理由：过B作BP⊥MN，反向延长PB交EF于Q，作BD⊥AC于D，
∵MN∥EF，
∴PB⊥EF，
∵AB平分∠MAC，BC平分∠ACE，
∴BP=BD=BQ，
在△PBG与△BHQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPG=∠BQH=90°}\\{BP=BQ}\\{∠PBG=∠QBH}\end{array}\right.$，
∴△BPG≌△BQH，
∴BG=BH．

点评 本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．