Question

【题目】已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E．

（1）求A、B的坐标；

（2）求点E的坐标；

（3）过线段OB的中点N作x轴的垂线并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标(-1，0)，点B的坐标(3，0)；（2）(-3，0)；（3）存在，(，)或(，)

【解析】

（1）抛物线y=-x2+2x+3与x轴两个交点的横坐标即是方程-x2+2x+3=0的两个实数根；

（2）先根据二次函数表达式算出点C与顶点D，再用待定系数法算出直线CD的解析式，最后算出点E坐标即可；

（3）存在满足条件的点M（，m），过点M作MQ⊥CD于Q，连接OM，先证明Rt△FQM∽Rt△FNE，再利用相似的性质得到关于m的方程，解方程即可．

解：（1）由y=0得-x2+2x+3=0，

解得x1=-1，x2=3，

∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）

（2）由y=-x2+2x+3，令x=0，得y=3，

∴C（0，3）

又∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

得D（1，4）

设直线CD的解析式为y=kx+b，得

，

解得：，

∴直线CD的解析式为y=x+3

∴E（-3，0）

（3）存在．

由（1）（2）得，E（-3，0），N（，0）

∴F（， ），EN=，

设存在满足条件的点M（，m），作MQ⊥CD于Q，则

FM=， EF=， MQ=OM=

由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，

∴，

∴4m2+36m-63=0，

∴m1= ，m2=，

∴点M的坐标为M1(，)，M2（，）