Question

如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴 交于C点，点A的坐标为（-3，4），点B的坐标为（6，n）
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）先把A（-3，4）代入y=

m

x

得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y=-

12

x

；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为（6，-2），然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y=-

2

3

x+2；
（2）过A点作AP₁⊥x轴于P₁，AP₂⊥AC交x轴于P₂，则P₁点的坐标为（-3，0）；再证明Rt△AP₂P₁∽Rt△CAP₁，利用相似比计算出P₁P₂=

8

3

，则OP₂=3+

8

3

=

17

3

，所以P₂点的坐标为（-

17

3

，0），于是得到满足条件的P点坐标．

解答：解：（1）将A（-3，4）代入y=

m

x

，得m=-3×4=-12
∴反比例函数的解析式为y=-

12

x

；
将B（6，n）代入y=-

12

x

，得6n=-12，解得n=-2，
∴B（6，-2），
将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0）得

-3k+b=4 6k+b=-2

，解得

k=- 2 3 b=2

，
∴所求的一次函数的解析式为y=-

2

3

x+2；

（2）存在．
过A点作AP₁⊥x轴于P₁，AP₂⊥AC交x轴于P₂，如图，
∴∠AP₁C=90°，
∵A点坐标为（-3，4），
∴P₁点的坐标为（-3，0）；
∵∠P₂AC=90°，
∴∠P₂AP₁+∠P₁AC=90°，
而∠AP₂P₁+∠P₂AP₁=90°，
∴∠AP₂P₁=∠P₁AC，
∴Rt△AP₂P₁∽Rt△CAP₁，
∴

AP1

CP1

=

P1P2

AP1

，即

4

6

=

P1P2

4

，
∴P₁P₂=

8

3

∴OP₂=3+

8

3

=

17

3

，
∴P₂点的坐标为（-

17

3

，0），
∴满足条件的P点坐标为（-3，0）、（-

17

3

，0）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；会运用三角形相似知识求线段的长度．